Dadas as matrizes [math]A[/math] de dimensão [math]m \times n[/math] e [math]B[/math] de dimensão [math]p \times q[/math], o produto de kronecker [math]C = A \otimes B[/math] (também chamada de produto direto) é uma matriz [math](mp) \times (nq)[/math] com elementos definidos por:
- [math]c_{\alpha \beta} = a_{ij} b_{kl}[/math]
onde:
- [math]\alpha = p(i-1)+k[/math]
- [math]\beta = q(j-1)+l[/math].
O produto direto da matriz fornece a matriz da transformação linear induzida pelo produto tensorial do espaço vetorial dos espaços vetoriais originais. Mais precisamente, suponha que
- [math]S:V_1 \rightarrow W_1[/math] e [math]T:V_2 \rightarrow W_2[/math]
são dados por
- [math]S(x) = A_x[/math] e [math]T(y) = B_y[/math].
Então
- [math]S \otimes T:V_1 \otimes V_2 \rightarrow W_1 \otimes W_2[/math]
é determinado por
- [math]S \otimes T(x \otimes y) = (A_x) \otimes (B_y) = (A \otimes B)(x \otimes y)[/math].
Exemplo
Por exemplo, o produto de kronecker para uma matriz 2 × 2 [math]A[/math] com uma matriz 3 × 2 [math]B[/math] é uma matriz 6 x 4 como se segue:
[math]
\left [
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} \\\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right ]
\bigotimes
\left [
\begin{array}{ccc}
b_{11} & b_{12} \\\
b_{21} & b_{22} \\\
b_{31} & b_{32}
\end{array}
\right ]
=
\left [
\begin{array}{ccc}
a_{11} B & a_{12} B \\\
a_{21} B & a_{22} B
\end{array}
\right ]
=
\left [
\begin{array}{ccc}
a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} \\\
a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} \\\
a_{11}b_{31} & a_{11}b_{32} & a_{12}b_{31} & a_{12}b_{32} \\\
a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} & a_{22}b_{11} & a_{22}b_{12} \\\
a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} & a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22} \\\
a_{21}b_{31} & a_{21}b_{32} & a_{22}b_{31} & a_{22}b_{32}
\end{array}
\right ]
[/math]