Produto de Kronecker
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Dadas as matrizes
de dimensão e de dimensão , o produto de kronecker (também chamado de produto direto) é uma matriz de dimensões com elementos definidos por:onde:
- .
O produto direto da matriz fornece a matriz da transformação linear induzida pelo produto tensorial do espaço vetorial dos espaços vetoriais originais. Mais precisamente, suponha que
- e
são dados por
- e .
Então
é determinado por
- .
Exemplo
Por exemplo, o produto de kronecker para uma matriz 2 × 2
com uma matriz 3 × 2 é uma matriz 6 x 4 como se segue:
Algoritmo
O algoritmo do produto de Kronecker entre as matrizes
e é apresentado a seguir e produz uma matrizkron(A_{p × q}, B_{r × s}) inicializar a matriz C_{pr × qs} para i ← 1 até p para j ← 1 até q row ← (i - 1) * r + 1 para k ← até r col ← (j - 1) * s + 1 para l ← 1 até s C(row, col) ← A(i, j) * B(k, l) col ← col + 1 fim_para row ← row + 1 fim_para fim_para fim_para retorne C_{pr × qs} fim_kron
A complexidade no tempo desse algoritmo é
.