Soma de Kronecker

Sejam as matrizes quadradas [math]A=[a]_n[/math] e [math]B=[b]_m[/math] com dimensões n e m respectivamente. A soma de Kronecker (também chamada de soma direta) de A e B é denotada por [math]A \oplus B[/math] e definida como:

[math]A \oplus B = (A \otimes I_m) + (I_n \otimes B)[/math]

onde:

• [math]\otimes[/math] denota o Produto de Kronecker
• [math]+[/math] denota a Adição de Matrizes convencional (Soma Direta de Matrizes)
• [math]I_m[/math] e [math]I_n[/math] são matrizes identidades na ordem m e n respectivamente.
• [math]exp(A) \otimes exp(b) = exp(A \oplus B)[/math] onde [math]exp(A)[/math] define uma Matriz Exponencial.

Exemplo

Por exemplo, a soma de kronecker para uma matriz 2 × 2 [math]A[/math] com uma matriz 2 × 2 [math]B[/math] é

[math] \left [ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right ] \bigoplus \left [ \begin{array}{ccc} b_{11} & b_{12} \\\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{ccc} a_{11} + b_{11} & b_{12} & a_{12} & 0 \\\ b_{21} & a_{11} + b_{22} & 0 & a_{12} \\\ a_{21} & 0 & a_{22} + b_{11} & b_{12} \\\ 0 & a_{21} & b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{array} \right ] [/math]

Veja Também

• Wikipedia: Kronecker Sum
• Proof Wiki Definition: Kronecker Sum
• Wolfram MathWorld: Kronecker Sum