Soma de Kronecker

Definição

Sejam as matrizes quadradas $A=[a]_n$ e $B=[b]_m$ com dimensões n e m respectivamente.

A soma de Kronecker de A e B é denotada por $A \oplus B$ e definida como:

$A \oplus B = (A \otimes I_m) + (I_n \otimes B)$

onde:

• $\otimes$ denota o Produto de Kronecker
• $+$ denota a Adição de Matrizes convencional (Soma Direta de Matrizes)
• $I_m$ e $I_n$ são matrizes identidades na ordem m e n respectivamente.
• $exp(A) \otimes exp(b) = exp(A \oplus B)$ onde $exp(A)$ define uma Matriz Exponencial.

Exemplo

Por exemplo, a soma de kronecker para uma matriz 2 × 2 $A$ com uma matriz 2 × 2 $B$ é

$\left [ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right ] \bigoplus \left [ \begin{array}{ccc} b_{11} & b_{12} \\\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{ccc} a_{11} + b_{11} & b_{12} & a_{12} & 0 \\\ b_{21} & a_{11} + b_{22} & 0 & a_{12} \\\ a_{21} & 0 & a_{22} + b_{11} & b_{12} \\\ 0 & a_{21} & b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{array} \right ]$